دخلت النماذج العصبية (Neural Operators) حلبة المنافسة كحلول قوية مُعتمدة على البيانات لحل المعادلات التفاضلية الجزئية (PDEs)، حيث تقدّم تسريعًا ملحوظًا مقارنةً بالأساليب العددية التقليدية. ولكن، لا تزال النماذج المعتمدة على المحولات (Transformers) تواجه تحديات كبيرة عند التعامل مع المعادلات على أشكال هندسية معقدة. فمعالجة نقاط الشبكة الضخمة مباشرةً تعتبر عملية مكلفة من الناحية الحسابية، بينما قد تؤدي العمل في إحداثيات غير مفهومة إلى إخفاء الهندسة الجوهرية التي تُعبر عن التفاعلات الفيزيائية بشكل طبيعي.

لتجاوز هذه القيود، نُقدّم نموذج *المحول المحوري المُشَار إليه بالخرائط الهندسية* (CATO)، وهو نموذج عصبي يتكيّف مع الهندسة ويأخذ في الاعتبار المشتقات، مُخصصًا بـ PDEs على أشكال هندسية عامة. بدلاً من تطبيق الانتباه مباشرةً في النظام الإحداثي الفيزيائي، يتعلم CATO خريطة مُستمرة تستوعب إحداثيات الشبكة إلى مساحة خريطة مُتعلمة، حيث يتيح *الانتباه المحوري المشروط بالخريطة* التقاط الاعتماديات الطويلة المدى بكفاءة وبكلفة حسابية منخفضة.

علاوة على ذلك، يُقدم CATO خسارة *فيزيائية واعية بالمشتقات* للمعادلات التفاضلية المستقرة، تراقب قيم الحلول والتدرجات المتسقة مع الشبكة، بالإضافة إلى حقل مُساعد شبيه بالتدفق، ما يُحسن دقة النمذجة الفيزيائية ويُقلل من الزيادة في السلاسة.

يوفر CATO أيضًا نتائج تقريب نظرية تظهر أنه، تحت خريطة مناسبة، يمكن أن يمثل الانتباه المحوري المُشار إليه مُشغلات الحلول المحورية ذات الرتبة المنخفضة مع تحكم في الخطأ، وأن الاضطرابات الصغيرة في الخريطة تُؤدي إلى تدهور تقريبي محدود.

لقد أظهر CATO أفضل أداء بين جميع المجموعات المُقيّمة، مُحققًا تحسينًا متوسطًا يقارب 26.76% مقارنةً بأقوى الأساسيات المنافسة، مع تقليل عدد المعلمات بمعدل 81.98%. تُظهر هذه النتائج فعالية تعلم الخرائط الهندسية التكيفية والإشراف الفيزيائي الواعي بالمشتقات في تعلم مُشغلات PDE بدقة وكفاءة.