منذ أن تناول إسحق نيوتن (Isaac Newton) مشكلة أعداد القبلات (Kissing Number Problem) في عام 1694، أصبحت مسألة تحديد العدد الأقصى للكرات غير المتداخلة المحيطة بكُرة مركزية واحدة من أبرز التحديات في الهندسة المتقطعة (Discrete Geometry). تُعد هذه المسألة محليًا بمثابة النسخة الأصغر من مشكلة هيلبرت الثامنة عشرة، ولها دلالات عميقة في مجالات الهندسة ونظرية الأعداد ونظرية المعلومات.

على الرغم من أن الصفوف والشفرات قد أحرزت تقدمًا ملحوظًا، إلا أن هذا المجال ظل محصورًا في تكوينات متطرفة معزولة، مما أبعد عن السطح المبادئ الهندسية الأساسية. هنا، نقوم بتحويل الشيء إلى فضاء تكوينات متطرفة أوسع، مما يفتح طريقًا جديدًا لمشكلة أعداد القبلات.

قمنا بإعادة صياغة هذه المشكلة كلاعب في لعبة تكامل المصفوفات التعاونية (Cooperative Matrix-Completion Game)، ودرّبنا نظامًا للتعلم المعزز يسمى PackingStar لحلها. يلعب اللاعب الأول دور الملئ للعناصر، بينما يقوم الآخر بتصحيح العناصر غير المثلى، مما يجعل التعقيد الهندسي المتفجر قابلاً للدراسة.

من خلال العمل داخل فضاءات التكوينات المتطرفة، اكتشف PackingStar تركيبات هندسية جديدة قابلة للتفسير تُحسن من 15 حدًا قويًا تم الاحتفاظ بها لعقود في أعداد القبلات وتعميماتها، حيث تم إثبات صحة العديد منها تحت منتجات داخلية طبيعية. هذه الاكتشافات تكشف أيضًا عن أول تجسيد لكود كروي من مجموعة فيشر Fi22، وتوسع التمثيل الإقليدي الكلاسيكي لبنية المجموعات الفرعية، وتُلهم في الوقت نفسه تطورات لاحقة من قبل الرياضيين.

بشكل عام، يُظهر هذا العمل كيف يحفز التعلم المعزز التقدم الرياضي من خلال فتح أبواب جديدة للحصول على كائنات أكثر تعبيرًا، مما يجعل الرياضيات تتواصل مع تقنيات الذكاء الاصطناعي بطريقة ثورية.