يعتبر تحليل كووبمان (Koopman Analysis) أداة قوية لفهم الأنظمة الديناميكية، ولكن غالبًا ما يواجه الباحثون صعوبات في تطبيقه بشكل فعال. لذا، نقدم لكم في هذا المقال تحليلًا متعمّقًا لجماعة كووبمان عبر استخدام التحويل الموجي (Wavelet Transform) الذي يعزز قدرة هذه الأداة.

نبدأ بتعريف الملاحظات القائمة على التحويل الموجي، ونوضح أنها تتوافق مع الدوال الذاتية لجماعة كووبمان عند اعتبار هذه الجماعة في فضاء باناش (Banach Space) للدوال المستمرة على مجموعة متقدمة قليلة القابلية للتغيير، مما يتيح لنا تحسين فهم سلوك النظام.

ثم نقوم ببناء تعبيرات مغلقة للفعل الذي تقوم به جماعة كووبمان وحلها في سياق هذه الملاحظات. من أجل تقليل الفعل العددي لجماعة كووبمان، نجمع بين طريقة تفكيك الأوضاع الديناميكية الموسعة (Extended Dynamic Mode Decomposition - EDMD) والملاحظات القائمة على التحويل الموجي، مما يقودنا إلى تطوير خوارزمية تفكيك الأوضاع الديناميكية الموجية (Wavelet Dynamic Mode Decomposition) عبر التحويل المستمر للموجات (Continuous Wavelet Transform - cWDMD).

قمنا أيضًا بالتحقق من النتائج النظرية من خلال تطبيقها على مثالين عدديين، مما يثبت القدرة الكبيرة لهذه الأساليب في فهم الأنظمة الديناميكية بشكل أفضل.

هل تمنحك هذه الأساليب الابتكارية فكرة عن كيفية توظيف التحليل الموجي في أبحاثك؟ دعنا نعرف برأيك في التعليقات!