في عالم الذكاء الاصطناعي، تُعد الأوتوانCoder (Autoencoder) واحدة من الأدوات القوية التي تسهم في فهم البيانات بطريقة مبتكرة. في دراستنا الجديدة، نقدم إطارًا نظريًا يربط بين الأوتوانCoder متعددة المخططات ونظرية الحزم الكلاسيكية (Vector Bundles) وفصول الخصائص (Characteristic Classes). في هذا الإطار، لا نعتبر الأوتوانCoder كأداة تنتج تمثيلاً أوروبيًا عالميًا واحدًا، بل نراها كمجموعة من أزواج المترجمين المكتسبة محليًا، والتي تُشكل أطلسًا متعلمًا على المنحنيات.

نظهر أن أي أطلس أوتواتر متسق في الإعادة يمكن أن يُعرّف بشكل تلقائي خرائط انتقالية تُحقق شرط الكوكسايل (Cocycle Condition). عندما نقوم بخطوة تحسين لهذه الخرائط الانتقالية، نحصل على حزمة متجهات (Vector Bundle) تتطابق مع حزمة التانجنت (Tangent Bundle) في حالة تطابق الأبعاد الكامنة مع الأبعاد الجوهرية للمنحنى. هذا البناء يمنحنا وصولاً مباشراً إلى الثوابت التفاضلية الطوبوغرافية للبيانات.

بالإضافة إلى ذلك، نستعرض كيف يمكن حساب الفصل الأول من ستيفيل-ويتني (Stiefel-Whitney Class) استنادًا إلى علامات الجاكوبيان (Jacobian) لخرائط الانتقال المُتعلمة، مما يوفر معيارًا خوارزميًا لاكتشاف القابلية للتوجيه (Orientability). كما أننا نُظهر أن الفصول الخصائص غير البسيطة تخلق عوائق أمام التمثيلات ذات المخطط الواحد، ويُحدد الحد الأدنى لعدد المخططات المطلوبة للأوتوانCoder حسب بنية التغطية الجيدة للمنحنى.

نطبق منهجيتنا على منحنيات ذات أبعاد منخفضة قابلة للتوجيه وغير قابلة للتوجيه، بالإضافة إلى مجموعة بيانات صور عالية الأبعاد غير قابلة للتوجيه. هذه النتائج تفتح آفاق جديدة في فهم كيفية التعامل مع البيانات المعقدة وتقديم رؤى جديدة في مجالات متعددة.