في السنوات الأخيرة، اكتسب التصويت القائم على الموافقة (Approval Voting) اهتمامًا واسعًا في مجتمع اتخاذ القرار الاجتماعي. من بين القواعد المطروحة، تبرز قواعد ثيليه (Thiele Rules) وخصوصًا التصويت التناسيقي (Proportional Approval Voting - PAV) لجاذبيتها بسبب خصائصها المرغوبة مثل التمثيل النسبي (Proportional Representation) والكفاءة باريتو (Pareto Optimality) والتزايد المدعوم (Support Monotonicity).

ومع ذلك، فإن أبرز التحديات التي تواجه تطبيق هذه القواعد هو أن حساب نتيجة ثيليه يُعتبر صعباً للغاية (NP-hard) بشكل عام. ولكن تلوح في الأفق بصيص من الأمل، حيث تُظهر الدراسات أن قواعد ثيليه تتصرف بشكل أفضل تحت تفضيلات منظمة. في مجال الفترة المتعلقة بالمرشحين (Candidate Interval - CI)، يمكن حساب النتائج في زمن متعدد الحدود عبر برنامج خطي (Linear Program - LP) يمتاز بمواده غير الموحدة تمامًا.

ومع ذلك، تفشل هذه الطريقة حينما يتعلق الأمر بمجال الفترة المتعلقة بالناخبين (Voter Interval - VI)، وقد تم طرح تعقيد هذا الإشكال كمسألة مفتوحة عدة مرات. وقد توصلت دراستنا الرئيسية إلى حلاً لهذا السؤال: رغم أن المصفوفة المعنية ليست غير موحدة تمامًا، إلا أن برنامج LP "العادي" لا يزال يقبل على الأقل حلاً مثاليًا واحدًا صحيحًا، وقد قمنا بتقديم خوارزمية سريعة لإيجاده.

تتوسع تقنيتنا بشكل طبيعي لتشمل مجال الفترة المتعلقة بالناخبين والمرشحين (Voter-Candidate Interval - VCI) المعروف أيضًا بمجال مدى الناخبين والمرشحين أحادي الأبعاد (1D-VCR)، بالإضافة إلى مجال التوافق الخطي (Linear Consistent - LC)، وكلاهما يُعّرفان مجالات أكثر تعقيداً للمرشحين والناخبين. رغم أن مجالات VCI و LC قد خضعت للدراسة في سياق اتخاذ القرار الاجتماعي، إلا أن العلاقة بينهما كانت غير معروفة. ومن خلال الروابط مع نظرية الرسوم البيانية، نُظهر أن LC يحتوي بشكل صارم على VCI.

نعرض أيضًا تعريفًا بديلًا لمجال LC، يتمتع بتوافق أكبر مع VCI وله تفسير طبيعي في الانتخابات القائمة على الموافقة؛ وقد تكون هذه التوافقات ذات أهمية مستقلة.

أخيرًا، نقوم بدراسة تعميم بديل يعتمد على الشجر لمجال VCI، ونُظهر أن قواعد ثيليه تصبح صعبة الحساب (NP-hard) في هذا المجال. إن هذه الاكتشافات قد تكون بداية جديدة لفهم أفضل لقواعد الانتخابات المعقّدة وكيف يمكن تحسينها لتكون أكثر كفاءة وشفافية.